Im Labor der Philosophie

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Wie man mit Logik und Mathematik philosophische Fragen über Glauben, Rationalität und Paradoxien untersucht, erklärt Leibniz-Preisträger Professor Hannes Leitgeb, Inhaber des Lehrstuhls für Logik und Sprachphilosophie und Gründer und Co-Direktor des Munich Center for Mathematical Philosophy (MCMP), im folgenden Interview:

Mathematik und Philosophie – das klingt für viele nach zwei Welten. Was verbindet diese Fächer in der mathematischen Philosophie?

Hannes Leitgeb: In der mathematischen Philosophie werden mathematische und logische Methoden auf klassische philosophische Fragen angewandt: Was ist Wahrheit? Wie können wir Überzeugungen rechtfertigen? Welche Arten von Dingen existieren? Und wie sollen wir handeln? Wenn man solche Fragen präzise formuliert, zeigen sich bestimmte Strukturen – und diese lassen sich mathematisch beschreiben. Dabei geht es nicht darum, Philosophie auf Mathematik zu reduzieren. Die Mathematik ist vielmehr ein Werkzeug für das Philosophieren.

Die mathematische Philosophie orientiert sich an naturwissenschaftlichen Standards – also an Transparenz, Nachvollziehbarkeit und logischer Strenge. Sie definiert Begriffe, formuliert Thesen explizit und prüft, ob Argumente logisch tragen. Auf diese Weise entsteht ein Netz von Zusammenhängen zwischen abstrakten Prinzipien und konkreten Beispielen. Eine philosophische Theorie ist dann nicht nur eine inspirierende Idee, sondern ein schlüssiges System, in dem sichtbar wird, was woraus folgt – und wo es hakt.

Welche Vorteile hat es, philosophische Fragen formal zu untersuchen statt mit traditionelleren, literarischen Modellen?

Es bringt vor allem eines: Klarheit. Denn formale Methoden zwingen uns Forschende, Begriffe wie Wahrheit, Wissen oder Rationalität so zu fassen, dass ihre Anwendungen transparent werden. Dadurch verschwinden viele Missverständnisse, die in rein sprachlichen Diskussionen leicht entstehen. Und der Formalismus erleichtert es uns, Sprache und vernünftiges Denken und Handeln systematisch zu untersuchen.

Darüber hinaus eröffnen mathematische Modelle eine Art Labor der Philosophie. So wie die Physik ein Pendel idealisiert, um seine Bewegung zu verstehen, lassen sich auch philosophische Probleme vereinfacht modellieren. Damit kann man Annahmen variieren, Theorien prüfen und Alternativen vergleichen. Außerdem erlauben formale Modelle, Argumente streng zu bewerten – was zu ganz neuen Einsichten führen kann.

Können Sie ein klassisches Beispiel nennen?

Als etwa der deutsche Philosoph und Mathematiker Gottlob Frege um 1900 zeigen wollte, dass sich die gesamte Arithmetik allein aus logischen Prinzipien ableiten lässt, entdeckte der britische Logiker und Philosoph Bertrand Russell einen Widerspruch in Freges Theorie – und konnte diesen logisch nachweisen. Für Frege war der eintreffende Brief ein Schock, für die Philosophie aber ein Glücksfall: Denn aus dem „Russell’schen Paradox“, demzufolge bestimmte Eigenschaften keine Menge definieren, entwickelten sich Teile der modernen Logik. Und auf der modernen Logik bauen heute sowohl die Mathematik als auch große Teile der theoretischen Philosophie auf.

Das Gerüst der Gründe

Welche philosophischen Fragen erforschen Sie selbst – und wie lassen sie sich mathematisch entschlüsseln?

Abgesehen von der philosophischen Logik liegen die Schwerpunkte meiner Arbeit in der Erkenntnistheorie, der Philosophie der Mathematik und der Sprachphilosophie. In der Erkenntnistheorie beschäftige ich mich unter anderem damit, was es bedeutet, etwas rational zu glauben. Wir alle haben ja Meinungen über die Welt – aber dies mit unterschiedlicher Stärke: Dass 2 + 2 = 4 ist, gilt uns als bewiesen und daher sicher; dass morgen in München die Sonne scheint, nur als – dem Wetterbericht entsprechend – wahrscheinlich.

Diese Abstufungen des rationalen Für-wahr-Haltens – „Grade des Glaubens“ – lassen sich mathematisch beschreiben. Wer zu 70 Prozent glaubt, dass morgen die Sonne scheint, sollte zu 30 Prozent glauben, dass sie nicht scheinen wird. Gibt es neue Informationen – etwa eine aktualisierte Wettervorhersage –, müssen sich diese Grade nach den mathematischen Regeln der bedingten Wahrscheinlichkeit anpassen.

Auf dieser Grundlage entsteht eine mathematische Theorie des vernünftigen, aber unsicheren Schließens – die Bayesianische Erkenntnistheorie. Sie erlaubt es, klassische erkenntnistheoretische Fragen über Wissen, Lernen und die Gründe für Überzeugungen genau zu untersuchen – und schlägt zugleich Brücken zur Statistik, Psychologie, Ökonomie, den Neurowissenschaften und zur Informatik. Denn diese Disziplinen erforschen ebenfalls, wie man aus unsicheren Daten vernünftige Schlussfolgerungen zieht.

Worum geht es in Ihrer Forschung zur Philosophie der Mathematik?

Hier richte ich meinen Blick auf die Grundlagen eines Fachs, das sonst als Inbegriff von Gewissheit gilt. Aber was genau sind mathematische Objekte – Zahlen, Mengen, Funktionen, geometrische Figuren? Allgemeiner: Was sind mathematische Strukturen? Was macht eine mathematische Aussage wahr – ob es nun ein Satz über die Lösbarkeit einer Gleichung oder einer wie „Es gibt unendlich viele Primzahlen“ sein mag? Und: Lässt sich die gesamte Mathematik – wie Frege und Russell hofften – tatsächlich auf reine Logik zurückführen?

Solche Fragen mögen abstrakt klingen. Aber sie entscheiden darüber, wie die Mathematik sich selbst versteht. Sie betreffen das Verständnis mathematischer Beweise, die Erklärungskraft ganzer Theorien und die Frage, ob sich das weite Gebäude der Mathematik auf wenige Prinzipien zurückführen lässt. Die Philosophie der Mathematik macht sichtbar, wie eng logische Präzision, mathematische Kreativität und philosophische Analyse miteinander verflochten sind – und warum sich die Grundlagen eines scheinbar fest gefügten Fachs immer wieder neu vermessen lassen müssen.

Von Sätzen und ihrem Wahrheitsgehalt

Und was erforschen Sie im Bereich der Sprachphilosophie?

Hier beschäftige ich mich zum Beispiel mit der Semantik und Logik von Wenn-Dann-Sätzen. Bedingungssätze wie „Wenn es morgen regnet, nehme ich den Schirm“ klingen erst mal simpel, sind theoretisch aber hochkomplex: Unter welchen Bedingungen sind sie wahr? Haben sie überhaupt Wahrheitsbedingungen oder drücken sie vielmehr bedingte Wahrscheinlichkeiten aus?

Welche logischen Schlüsse erlauben sie?

Um das herauszufinden, analysiert man in der Logik und der Sprachphilosophie die sprachlichen Bausteine, aus denen Sätze bestehen – Verknüpfungswörter wie „wenn, dann“, „und“, „oder“, „nicht“, „es gibt“, usw., die das logische Gerüst unseres Denkens bilden. Für einfache Sätze wie „Schnee ist weiß“ lässt sich Wahrheit problemlos definieren. Am anderen Ende stehen Grenzfälle wie der Satz „Dieser Satz ist nicht wahr“, der als sogenanntes „Lügner-Paradox“ offenlegt, wo Sprache an ihre eigenen logischen Grenzen zu geraten scheint. Und doch lässt sich auch die Wahrheit oder Falschheit solcher Sätze mit logischer Strenge erklären.

An solchen Beispielen sieht man, dass sich formale Methoden nicht nur auf quantitative Größen anwenden lassen, sondern auch auf etwas so Alltägliches wie die Struktur ganz normaler Sätze.

Mathematische Philosophie arbeitet also nicht nur mit Zahlen?

Nein, denn moderne Mathematik ist vor allem eine Strukturtheorie. Überall dort, wo sich Strukturen exakt erfassen lassen, können wir logische und mathematische Methoden einsetzen. Das kann die Wahrscheinlichkeit sein, mit der wir an etwas vernünftigerweise glauben, aber ebenso die logische Struktur von Argumenten, Relationen zwischen Begriffen oder Modelle für Wahrheit und Bedeutung.

Am MCMP wird daher nicht bloß „mit Zahlen jongliert“. Wir arbeiten mit Logik, Mengentheorie, Graphentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Entscheidungstheorie, Spieltheorie, Computersimulationen – und oft ganz konkret mit sprachlichen Strukturen. Wir versuchen, das angesprochene „Gerüst des Denkens“ sichtbar zu machen, und wollen verstehen, welche Arten von Schlüssen darin gültig sind – ganz gleich, ob sie sich in Zahlen, Begriffen oder Sätzen ausdrücken.

Besteht dabei das Risiko, komplexe philosophische Zusammenhänge zu stark zu vereinfachen oder zu präzisieren?

Diese Risiken gibt es permanent, denn jede Methode kann unangemessen oder missverständlich angewendet werden. Daher ist meine erste Frage, wenn Studierende mir eine formalisierte Darstellung eines philosophischen Problems präsentieren: Zahlt sich diese Formalisierung philosophisch aus? Wenn nicht, rate ich dringend, darauf zu verzichten. Philosophische Begriffe oder Fragen sollten niemals vorschnell, ohne gute Gründe formalisiert werden!

Umgekehrt gibt es mittlerweile philosophische Gebiete, deren zentrale Resultate ohne Formalisierung schlicht nicht zu begründen wären. Entscheidend ist also, umsichtig zu sein: Mathematisierung da, wo sie Einsicht schafft – Zurückhaltung dort, wo sie nur eine trügerische Scheingenauigkeit erzeugen würde.

Damit KI-Systeme überprüfbar sind

Womit beschäftigen Sie sich aktuell?

Ein aktueller Schwerpunkt meiner Forschung betrifft die Logik von Gründen, insbesondere von Gründen für Überzeugungen und Handlungen. Eine praktische Anwendung dieser logisch-philosophischen Forschung könnte darin bestehen, neu zu bestimmen, wie sich Logik zu neuronalen Netzen verhält – also zu jener Art von Computerprogrammen, die ein wenig wie unser Gehirn aus vielen Beispielen lernen und Muster erkennen können. Lokal lassen sich solche Netze wie physikalische Systeme beschreiben.

Mich interessiert jedoch eine Frage, die mich schon in meiner Dissertation um das Jahr 2000 herum beschäftigte: Kann man die Arbeitsweise solcher Netze auch „symbolisch“ beschreiben – also so, wie wir in der Logik regelbasiert von Annahmen zu einer Schlussfolgerung gelangen? Damals konnte ich zeigen, dass die Antwort darauf ein prinzipielles „Ja“ war – meine Resultate waren allerdings bloße Existenzbeweise, die sich nicht leicht in praktische Anwendungen übersetzen ließen. Auch das Interesse an neuronalen Netzen hielt sich zu der Zeit noch in Grenzen.

Heute jedoch entscheiden solche Netze tatsächlich über Kreditvergaben oder machen Risikoanalysen – sensible Entscheidungen und Vorhersagen, deren Begründung oder fehlende Begründung wir nachvollziehen können müssen. Deshalb arbeite ich an einer Theorie der „Gründe“, die sich sowohl auf menschliches wie maschinelles Schließen anwenden lässt und die erklären könnte, aus welchen Gründen ein Netz zu einem bestimmten Ergebnis kommt. Mein MCMP-Kollege Levin Hornischer und ich haben gerade einen Artikel dazu verfasst.

Welche Rolle könnte Logik künftig in der KI spielen?

Zwar glaube ich nicht an eine Rückkehr zur alten symbolischen KI, aber ich sehe gute Gründe dafür zu glauben, dass logische Methoden auch in der Informatik wieder an Bedeutung gewinnen werden – nun jedoch als Werkzeug, mit dem sich die Schlussweisen neuronaler Netze rekonstruieren und kritisch prüfen lassen. Mich interessiert daher sehr, ob Logik und heutige KI wieder enger zusammengeführt werden können.

Wenn wir philosophische Theorien der Gründe, logische Methoden und maschinelles Lernen klug kombinieren, könnten KI-Systeme entstehen, die nicht nur leistungsfähig, sondern auch nachvollziehbar und rational überprüfbar sind. Dass das MCMP genau an dieser Schnittstelle arbeitet, stimmt mich optimistisch – für die Philosophie ebenso wie für unser Verständnis von Maschinen, die immer stärker in unseren Alltag eingreifen werden.

Zur Person:

Prof. Dr. Dr. Hannes Leitgeb ist Inhaber des Lehrstuhls für Logik und Sprachphilosophie und Co-Leiter des Munich Center for Mathematical Philosophy an der LMU.

Hannes Leitgeb studierte Mathematik, Computerwissenschaften und Philosophie an der Universität Salzburg, wo er 1998 in Mathematik und 2001 in Philosophie promoviert wurde. Anschließend war er an der Universität Salzburg als Universitätsassistent tätig, bevor er 2004 ein Jahr als Erwin Schrödinger Fellow an der Universität Stanford (USA) forschte. Ab 2005 war er zunächst als Reader und ab 2007 als Professor an den Departments of Philosophy und Mathematics der Universität Bristol (Großbritannien) tätig.

Im Jahr 2010 wurde Leitgeb mit einer Alexander von Humboldt-Professur ausgezeichnet und wechselte als Lehrstuhlinhaber für Logik und Sprachphilosophie an die LMU. 2025 wurde ihm von der Deutschen Forschungsgemeinschaft ein Gottfried Wilhelm Leibniz-Preis und von der Gesellschaft für Analytische Philosophie der Frege-Preis verliehen.